La teoría descriptiva de conjuntos es el estudio de los objetos definibles como los conjuntos de Borel, los conjuntos analíticos, relaciones de equivalencia, etc. Durante los últimos treinta años se han utilizado técnicas de este tema para resolver importantes problemas abiertos en otras áreas de la matemática como análisis de Fourier, sistemas dinámicos, topología, teoría de grupos. Se usa frecuentemente la teoría descriptiva de conjuntos para mostrar que ciertas clasificaciones y caracterizaciones no son posibles.

Por ejemplo, un problema de análisis de Fourier que estuvo abierto durante mucho tiempo fue la caracterización de los conjuntos compactos del círculo que son conjuntos de singularidades de series trigonométricas. Desde el comienzo del siglo pasado diversos matemáticos importantes trataron de resolver este problema sin éxito. En los ochenta Kaufman y Solovay mostraron, usando las técnicas de la teoría descriptiva de conjuntos, que lo que trataban de hacer en el pasado no era posible.

En particular, ellos mostraron que el conjunto de los conjuntos de singularidades de series trigonométricas es el complemento de un conjunto analítico no boreliano. El fracaso de las técnicas utilizadas en el pasado se debió a que éstas siempre producían colecciones de borelianos.